Bài 1:

Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\):

\(AH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

\(\Rightarrow H\) là trung điểm \(BC\)

\(\Rightarrow BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{24}{2}=12\left(\operatorname{cm}\right)\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\):

\(AC^2=AH^2+CH^2\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\left(\operatorname{cm}\right)\)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên đường trung trực của \(BC\) đi qua \(A\)

\(\Rightarrow\) Tâm \(O\in\) \(AD\)

\(\Rightarrow AD\) là đường kính của \(\left(O\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ACD\) vuông tại \(C\)

Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta ACD\) vuông tại \(C\):

\(CH^2=AH.HD\)

\(\Rightarrow HD=\frac{HC^2}{AH}=\frac{12^2}{16}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)

\(AD=AH+DH=16+9=25\left(\operatorname{cm}\right)\)

\(R=\frac{AD}{2}=\frac{15}{2}=12,5\left(\operatorname{cm}\right)\).

Bài 2:

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)

\(\Rightarrow OA=OB=OC=OD=\frac{AC}{2}\)

Xét \(\Delta AEC\) vuông tại \(E\):

\(EO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\)

\(\Rightarrow EO=\frac{AC}{2}\)

\(\Rightarrow OA=OB=OC=OD=OE\left(=\frac{AC}{2}\right)\)

\(\Rightarrow A,B,C,D,E\in\) đường tròn tâm \(\) \(O.\)

\(NH_3\left(g\right)+HCl\left(g\right)\to NH_4Cl\left(s\right)\)

Giải thích:

\(NH_3\) và \(HCl\) đều là chất khí không màu, dễ bay hơi. Khi tiếp xúc chúng phản ứng với nhau tạo thành \(NH_4Cl\) chất rắn ở điều kiện thường. Vì phản ứng xảy ra ngay trong pha khí nên sản phẩm tạo ra dưới dạng các hạt cực kì nhỏ, lơ lửng trong không khí. Tập hợp các hạt rắn lơ lửng đó tạo nên hiện tượng khói màu trắng.

Số bàn học có 2 bạn ngồi là:

\(15-1=14\) (bàn)

Số học sinh ngồi ở 14 bàn đó là:

\(14\times2=28\) (học sinh)

Số học sinh của lớp đó là:

\(28+1=29\) (học sinh)

Đáp số: \(29\) học sinh.

\(a)\)

\(ab\left(a+b\right)-ac\left(a-c\right)-bc\left(b+c\right)\)

\(=ab\left(a+b\right)-bc\left(b+c\right)-ac\left(a-c\right)\)

\(=b\left\lbrack a\left(a+b\right)-c\left(b+c\right)\right\rbrack-ac\left(a-c\right)\)

\(=b\left\lbrack\left(a^2-c^2\right)+\left(ab-bc\right)\right\rbrack-ac\left(a-c\right)\)

\(=b\left\lbrack\left(a-c\right)\left(a+c\right)+b\left(a-c\right)\right\rbrack-ac\left(a-c\right)\)

\(=b\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)-ac\left(a-c\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left(ab+b^2+bc-ac\right)\)

\(b)\)

\(a^3\left(b-c\right)-b^3\left(a-c\right)-c^3\left(b-a\right)\)

\(=a^3\left(b-c\right)-b^3\left(a-c\right)+c^3\left(a-b\right)\)

\(=a^3\left(b-c\right)-b^3\left\lbrack\left(a-b\right)+\left(b-c\right)\right\rbrack+c^3\left(a-b\right)\)

\(=a^3\left(b-c\right)-b^3\left(a-b\right)-b^3\left(b-c\right)+c^3\left(a-b\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a^3-b^3\right)-\left(a-b\right)\left(b^3-c^3\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left\lbrack\left(a^2+ab+b^2\right)-\left(b^2+bc+c^2\right)\right\rbrack\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a^2-c^2+ab-bc\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left\lbrack\left(a-c\right)\left(a+c\right)+b\left(a-c\right)\right\rbrack\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right).\)

Tỉ số giữa số bàn đóng được mỗi ngày ở cách thứ nhất và cách thứ hai là:

\(6:4=\frac32\)

Thời gian làm theo cách thứ nhất ít hơn thời gian làm theo cách thứ hai là:

\(2+2=4\) (ngày)

Ta có sơ đồ:
Thời gian cách thứ nhất: \(|--|--|\)

Thời gian cách thứ hai: \(|--|--|--|\)

Hiệu số phần bằng nhau là:

\(3-2=1\) (phần)

Thời gian bác thợ mộc đóng bàn thực tế theo cách thứ nhất là:

\(4:1\times2=8\) (ngày)

Số bàn bác thợ mộc cần đóng là:

\(8\times6=48\) (cái)

Đáp số: \(48\) cái bàn.

Yêu cầu: Tính

\(\left(4-3x\right)^2-3\left(x+3\right)^2+\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)\)

\(=16-24x+9x^2-3\left(x^2+6x+9\right)+\left(4x^2-1\right)\)

\(=16-24x+9x^2-3x^2-18x-27+4x^2-1\)

\(=\left(9x^2-3x^2+4x^2\right)+\left(-18x-24x\right)+\left(16-27-1\right)\)

\(=10x^2-42x-12\)

Yêu cầu: Giải phương trình

\(\left(4-3x\right)^2-3\left(x+3\right)^2+\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=0\)

\(10x^2-42x-12=0\)

\(5x^2-21x-6=0\)

\(5x^2-21x=6\)

\(x^2-\frac{21}{5}x=\frac65\)

\(x^2-2.x.\frac{21}{10}+\frac{441}{100}=\frac65+\frac{441}{100}\)

\(\left(x-\frac{21}{10}\right)^2=\frac{561}{100}\)

\(\left[\begin{matrix}x-\frac{21}{10}=\frac{\sqrt{561}}{10}\\ x-\frac{21}{10}=\frac{-\sqrt{561}}{10}\end{matrix}\right.\)

\(\left[\begin{matrix}x=\frac{21+\sqrt{561}}{10}\\ x=\frac{21-\sqrt{561}}{10}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\lbrace\frac{21\pm\sqrt{561}}{10}\right\rbrace.\)

Ta có:

\(4=2^2\)

\(6=2.3\)

\(8=2^3\)

Suy ra: \(BCNN\left(4,6,8\right)=2^3.3=24\)

\(BC\left(4,6,8\right)=\left\lbrace0;24;48;72;96;120;144;168\ldots\right\rbrace\)

Do đó: \(x-1\in\left\lbrace0;24;48;72;96;120;144;168;\ldots\right\rbrace\)

\(x\in\left\lbrace1;25;49;73;97;121;145;169;\ldots\right\rbrace\)

Mà \(x\in\mathbb{N};x<150\) nên \(x\in\left\lbrace1;25;49;73;97;121;145\right\rbrace.\)

Vì \(20<a<b;24>c>b\) nên: \(20<a<b<c<24\)

Mà \(a,b,c\in\mathbb{N}\) nên \(a=21;b=22;c=23\)

Vậy \(c=23.\)

\(VT=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+\cdots+\frac{1}{49.50}\)

\(=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\cdots+\left(\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac{1}{49}\right)-\left(\frac12+\frac14+\frac16+\cdots+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac12+\frac14+\frac14+\cdots+\frac{1}{50}\right)-2.\left(\frac12+\frac14+\frac16+\cdots+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac{1}{50}\right)-\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{25}\right)\)

\(=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+\cdots+\frac{1}{50}=VP\left(đpcm\right).\)

\(\left(2025^{50}+2024^{50}\right)-\left(2026^{50}+2025^{50}\right)\)

\(=2025^{50}+2024^{50}-2026^{50}-2025^{50}\)

\(=2024^{50}-2026^{50}+\left(2025^{50}-2025^{50}\right)\)

\(=2024^{50}-2026^{50}.\)